Однофакторный дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание) – статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную.
Метод был разработан биологом Р. Фишером в 1925 году для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий, при которых испытываемый сорт сельскохозяйственной культуры даёт максимальный урожай.
Современные приложения дисперсионного анализа охватывают широкий круг задач экономики, биологии, техники, психологии, педагогики, медицины и трактуются обычно в терминах статистической теории: выявления систематических различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех или иных меняющихся условиях.
Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак. Основной метод - исследование значимости различия между средними.
Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.
Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп).
Пусть a группах было проведено n измерений, значения измеряемого признака - Xim, где i - порядковый номер уровня фактора А (номер группы) i = 1, 2, ... а, m - номер измерения m = 1, 2, ... n:
Данные для однофакторного анализа, при равном числе измерений для каждого уровня фактора А (для каждой группы)
уровни фактора А
i = 1, 2, ... а |
Результаты опытов Xim, номер наблюдения
m = 1, 2, ... n |
Групповая
средняя |
Xi1 |
... |
Xim |
... |
Xin |
А1 |
X11 |
... |
X1m |
... |
X1n |
1 |
А2 |
X21 |
... |
X2m |
... |
X2n |
2 |
... |
... |
... |
... |
... |
|
... |
Аa |
Xa1 |
... |
Xam |
... |
Xan |
a |
Дисперсионный анализ включает в себя проверку гипотез H, связанных с оценкой выборочной дисперсии. Можно выделить гипотезы вида:
1. (значимо ли различие между двумя дисперсиями?)
2. (одна дисперсия значимо больше другой?)
Где - групповая (факторная) дисперсия оценка дисперсии по уровням фактора А, - остаточная оценка дисперсии (дисперсия ошибки).
где SSa - сумма квадратических отклонений групповых (факторных) средних от общей средней;
νa= a - 1 - число степеней свободы фактора А
где SSе - сумма квадратических отклонений внутригрупповых отсчетов от средних групповых значений; νе= n - a - число степеней свободы при определении внутригрупповых отклонений.
Одинаковое число повторных опытов (m = 1, 2, ... n)
Если число измерений в каждой группе одинаково и равно n, то
,
Где - общее среднее - среднее значение для всех значений измеряемого признака по всем группа (N = an - общее число опытов):
- среднее значение на i уровне фактора А:
Разное число повторных опытов (m = 1, 2, ... ni)
Если число измерений в каждой группе разное и равно ni, т.е. число опытов в каждом i уровне m = 1, 2, ... ni, тогда
,
Где общее среднее и среднее значение на i уровне фактора А:
Гипотеза дисперсионного анализа Ho о статистической однородности измерений во всех группах (под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных) против альтернативы H1 о неоднородности измерений в группах проверяется с помощью критерия Фишера:
Расчетное значение критерия - Fрасчетное= / - сравнивается с табличным и если
Fрасчетное ≤ Fтабличное,
то гипотеза Ho принимается. В противном случае принимается гипотеза H1.
Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости α = 0.05
ν1 - число степеней свободы большей дисперсии, ν2 - число степеней свободы меньшей дисперсии
ν2 |
ν1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
15 |
1 |
161.45 |
199.50 |
215.71 |
224.58 |
230.16 |
233.99 |
236.77 |
238.88 |
240.54 |
241.88 |
245.95 |
2 |
18.51 |
19.00 |
19.16 |
19.25 |
19.30 |
19.33 |
19.35 |
19.37 |
19.38 |
19.40 |
19.43 |
3 |
10.13 |
9.55 |
9.28 |
9.12 |
9.01 |
8.94 |
8.89 |
8.85 |
8.81 |
8.79 |
8.70 |
4 |
7.71 |
6.94 |
6.59 |
6.39 |
6.26 |
6.16 |
6.09 |
6.04 |
6.00 |
5.96 |
5.86 |
5 |
6.61 |
5.79 |
5.41 |
5.19 |
5.05 |
4.95 |
4.88 |
4.82 |
4.77 |
4.74 |
4.62 |
6 |
5.99 |
5.14 |
4.76 |
4.53 |
4.39 |
4.28 |
4.21 |
4.15 |
4.10 |
4.06 |
3.94 |
7 |
5.59 |
4.74 |
4.35 |
4.12 |
3.97 |
3.87 |
3.79 |
3.73 |
3.68 |
3.64 |
3.51 |
8 |
5.32 |
4.46 |
4.07 |
3.84 |
3.69 |
3.58 |
3.50 |
3.44 |
3.39 |
3.35 |
3.22 |
9 |
5.12 |
4.26 |
3.86 |
3.63 |
3.48 |
3.37 |
3.29 |
3.23 |
3.18 |
3.14 |
3.01 |
10 |
4.96 |
4.10 |
3.71 |
3.48 |
3.33 |
3.22 |
3.14 |
3.07 |
3.02 |
2.98 |
2.85 |
11 |
4.84 |
3.98 |
3.59 |
3.36 |
3.20 |
3.09 |
3.01 |
2.95 |
2.90 |
2.85 |
2.72 |
12 |
4.75 |
3.89 |
3.49 |
3.26 |
3.11 |
3.00 |
2.91 |
2.85 |
2.80 |
2.75 |
2.62 |
13 |
4.67 |
3.81 |
3.41 |
3.18 |
3.03 |
2.92 |
2.83 |
2.77 |
2.71 |
2.67 |
2.53 |
14 |
4.60 |
3.74 |
3.34 |
3.11 |
2.96 |
2.85 |
2.76 |
2.70 |
2.65 |
2.60 |
2.46 |
15 |
4.54 |
3.68 |
3.29 |
3.06 |
2.90 |
2.79 |
2.71 |
2.64 |
2.59 |
2.54 |
2.40 |
16 |
4.49 |
3.63 |
3.24 |
3.01 |
2.85 |
2.74 |
2.66 |
2.59 |
2.54 |
2.49 |
2.35 |
17 |
4.45 |
3.59 |
3.20 |
2.96 |
2.81 |
2.70 |
2.61 |
2.55 |
2.49 |
2.45 |
2.31 |
18 |
4.41 |
3.55 |
3.16 |
2.93 |
2.77 |
2.66 |
2.58 |
2.51 |
2.46 |
2.41 |
2.27 |
19 |
4.38 |
3.52 |
3.13 |
2.90 |
2.74 |
2.63 |
2.54 |
2.48 |
2.42 |
2.38 |
2.23 |
20 |
4.35 |
3.49 |
3.10 |
2.87 |
2.71 |
2.60 |
2.51 |
2.45 |
2.39 |
2.35 |
2.20 |
http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/029/082.htm
назад |