Функция распределения. Числовные характеристики непрерывной случайной величины.

Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений. Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально.

Если X - случайная величина, то функция F(x) - интегральная функция распределения вероятностей, или просто функция распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины определяет вероятность P того, что случайная величина принимает значение, меньше x, т.е.

F(x) = P( X < x)

Функция распределения содержит всю информацию о случайной величине, поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения.

Функция распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Из определения следует, что функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

Свойства F(x):

1. Интегральная функция распределения принимает значения от 0 до 1.

2. F(x) - неубывающая функция, то есть F(x₂) F(x₁), если x₂ > x₁.

3. Вероятность того, что случайная величины X примет значение, заключенное в интервале (а, b) равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале:

4. Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат некоторому промежутку от   a  до   b, то:

F(x) = 0, если x a,
F(x) = 1, если x b

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Например для функции распределения числа очков выпавших при одно бросании игральной кости.

Непрерывную случайную величину удобнее характеризовать плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) :

Следовательно, функция распределения F(x) выражается через плотность распределения:

График называют также законом распределения или кривой распределения.

Свойства :

1. 0

2. , если все возможные значения X принадлежат интервалу (a, b)

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат некоторому промежутку от a до b, то математическое ожидание непрерывной случайной величины X:

Матаматическое ожидание - определяет среднее значение случайной величины Х

Дисперсия - отклонение случайной величины Х от среднего значения

,

где

Cреднеквадратическое отклонение

 

назад